A regra ou teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento, baseado num conhecimento existente que pode estar relacionado com o evento.
Num certo sentido é o calculo da conjugação de duas probabilidades.
Equação do teorema de Bayes, em que A e B são eventos e P(B) != 0:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
Exemplo de aplicação do teorema ou regra de Bayes
Enunciação dos dados ou conhecimento existente para a resolução do problema.
Temos duas caixas com boas azuis ( identificadas por a) e brancas (identificadas por b).
- A primeira caixa identificada por c1 tem 30 bolas brancas e 10 azuis.
- A segunda caixa identificada por c2 tem 20 bolas brancas e 20 azuis.
Existem aqui duas probabilidades encadeadas. Primeiro a relacionada com a caixa escolhida para retirar a bola, e segundo a da cor da bola saida da caixa escolhida.
Qual é a probabilidade de uma bola branca sair da primeira caixa?
Aplicação da formula do teorema ou regra de Bayes
Aplicação da formula para calcular a probabilidade de sair uma bola branca sair da primeira caixa.
P(c1|b) = P(b|c1) * P(c1) / P(b)
Tambem poderia ser aplicada para calcular a probabilidade de sair uma bola azul da primeira caixa com: P(c1|a) = P(b|c1) * P(c1) / P(a), ou a probabilidade de sair uma bola azul da segunda caixa com: P(c2|a) = P(b|c2) * P(c2) / P(a).
Explicação da aplicação do teorema ou regra de Bayes
O termo A é relativo ás caixas, portanto usa-se c1 para a primeira caixa, e P(c1) é probabilidade á priori de sair uma bola da primeira caixa (c1).
O termo B é relativo ás cores, portanto usa-se b para branco, e P(b) é a probabilidade á priori de sair uma bola branca (b).
Continuando, P(b|c1) é a probabilidade á posteriori (b condicionada a c1) sair uma bola branca (b) da primeira caixa (c1)
Por fim, o que se deseja calcular, P(c1|b) é a probabilidade á posteriori (c1 condicionada a b) da bola branca sair da primeira caixa.
Calculos da aplicação do teorema ou regra de Bayes
P(c1) – Probabilidade da bola sair da primeira caixa (c1)
P(c1) = 1/2 = 0.5
P(b) – Probabilidade de sair uma bola branca (b) (de todas as caixas)
P(b) =50/80 = 5/8 = 0.625
P(b|c1) – Probabilidade de sair uma bola branca (b) da primeira caixa (c1)
P(b|c1) = 30/40 = 0.75
Percentagem de bolas brancas no total de bolas saidas da caixa c1 ?
P(b|c1) * P(c1) = 30/40 * 1/2 = 0.75 * 0.5 = 0.375
Probabilidade de um bola branca sair da primeira caixa
P(b|c1) * P(c1) / P(b) = (30/40 * 1/2 )/(50/80) = 0.75 * 0.5 / 0.625 = 0.6
Resultado do exemplo da aplicação do teorema ou regra de Bayes
Existe 60% de probabilidade de uma bola branca sair da primeira caixa.
Links
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes