https://www.matematica.pt/programa/metas-curriculares-12-ano.php
Cálculo Combinatório
Propriedades das operações sobre conjuntos
– Propriedades comutativa, associativa, de existência de elemento neutro e elemento absorvente e da idempotência da união e da interseção e propriedades distributivas da união em relação à interseção e da interseção em relação à união;
– Distributividade do produto cartesiano relativamente à união.
Introdução ao cálculo combinatório
– Conjuntos equipotentes e cardinais; cardinal da união de conjuntos disjuntos;
– Cardinal do produto cartesiano de conjuntos finitos;
– Arranjos com repetição;
– Número de subconjuntos de um conjunto de cardinal finito;
– Permutações; fatorial de um número inteiro não negativo;
– Arranjos sem repetição;
– Número de subconjuntos de p elementos de um conjunto de cardinal n; combinações;
– Resolução de problemas envolvendo cardinais de conjuntos, contagens, arranjos e combinações.
Triângulo de Pascal e Binómio de Newton
– Fórmula do binómio de Newton;
– Triângulo de Pascal: definição e construção;
– Resolução de problemas envolvendo o triângulo de Pascal e o binómio de Newton.
Probabilidades
Probabilidades
Espaços de probabilidade
– Probabilidade no conjunto das partes de um espaço amostral finito; espaço de probabilidades;
– Acontecimento impossível, certo, elementar e composto; acontecimentos incompatíveis, acontecimentos contrários, acontecimentos equiprováveis e regra de Laplace;
– Propriedades das probabilidades: probabilidade do acontecimento contrário, probabilidade da diferença e da união de acontecimentos; monotonia da probabilidade;
– Resolução de problemas envolvendo a determinação de probabilidades em situações de equiprobabilidade de acontecimentos elementares;
– Resolução de problemas envolvendo espaços de probabilidade e o estudo de propriedades da função de probabilidade.
Probabilidade condicionada
– Probabilidade condicionada;
– Acontecimentos independentes;
– Teorema da probabilidade total;
– Resolução de problemas envolvendo probabilidade condicionada, acontecimentos independentes e o Teorema da probabilidade total.
Funções Reais de Variável Real
Funções Reais de Variável Real
Limites e Continuidade
– Teoremas de comparação para sucessões e teorema das sucessões enquadradas;
– Teoremas de comparação envolvendo desigualdades entre funções e os respetivos limites;
– Teorema das funções enquadradas;
– Utilização dos teoremas de comparação e do teorema das funções enquadradas para determinar limites de funções reais de variável real;
– Teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy);
– Teorema de Weierstrass;
– Resolução de problemas envolvendo os teoremas de comparação para o cálculo de limites de sucessões e de funções e a continuidade de funções.
Derivada de segunda ordem, extremos, sentido das concavidades e pontos de inflexão
– Derivada de segunda ordem de uma função;
– Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crítico e identificação de extremos locais;
– Pontos de inflexão e concavidades do gráfico de funções duas vezes diferenciáveis;
– Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem de uma função posição: aceleração média e aceleração; unidades de medida de aceleração;
– Estudo e traçados de gráficos de funções diferenciáveis;
– Resolução de problemas envolvendo propriedades de funções diferenciáveis.
Aplicação do cálculo diferencial à resolução de problemas
– Resolução de problemas de otimização envolvendo funções diferenciáveis;
– Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidades médias e velocidades instantâneas, acelerações médias e acelerações instantâneas e mudanças de unidades de aceleração;
– Resolução de problemas envolvendo a resolução aproximada de equações da forma f(x)=g(x) utilizando uma calculadora gráfica.
Trigonometria e Funções Trigonométricas
Trigonometria e Funções Trigonométricas
Diferenciação de funções trigonométricas
– Fórmulas trigonométricas da soma, da diferença e da duplicação;
– Limite notável limx→0sinxx;
– Diferenciabilidade das funções seno, cosseno e tangente;
– Resolução de problemas envolvendo o estudo de funções definidas a partir de funções trigonométricas.
Aplicações aos osciladores harmónicos
– Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação, período, frequência e fase;
– Estudo das funções definidas analiticamente por asin(bx+c)+d , acos(bx+c)+d e atan(bx+c)+d;
– Os osciladores harmónicos como soluções de equações diferenciais. Relação com a segunda lei de Newton e com a lei de Hooke;
– Resolução de problemas envolvendo osciladores harmónicos.
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Juros compostos e Número de Neper
– Cálculo de juros compostos;
– Resolução de problemas envolvendo juros compostos;
– Sucessão de termo geral Un=(1+1n)n e relação com juros compostos; capitalização contínua de juros e definição do número de Neper.
Funções exponenciais
– Propriedades da função definida nos números racionais pela expressão f(x)=ax,(a>0) : monotonia, continuidade, limites e propriedades algébricas;
– Extensão ao caso real: definição das funções exponenciais de base a e respetivas propriedades;
– Função exponencial ex e relação com o limite da sucessão de termo geral (1+xn)n,x∈R ;
– Limite notável limx→0ex−1x e derivada da função exponencial.
Funções logarítmicas
– Função logarítmica de base a≠1 enquanto bijeção recíproca da função exponencial de base ; logaritmo decimal e logaritmo neperiano;
– Monotonia, sinal, limites e propriedades algébricas dos logaritmos;
– Derivadas das funções logarítmicas e da função ax,a>0 ;
– Derivada da função xα,x>0 .
Limites notáveis envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
– Limites limx→+∞exxk e limx→+∞lnxx ;
– Resolução de problemas envolvendo o estudo de funções definidas a partir de funções exponenciais e logarítmicas, as respetivas propriedades algébricas e limites notáveis.
Modelos exponenciais
– A equação f’=kf,k∈R , enquanto modelo para o comportamento da medida de grandezas cuja taxa de variação é aproximadamente proporcional à quantidade de grandeza presente num dado instante (evolução de uma população, da temperatura de um sistema ou do decaimento de uma substância radioativa);
– Soluções da equação f’=kf,k∈R ;
– Resolução de problemas de aplicação, envolvendo a equação f’=kf,k∈R .
Primitivas e Cálculo Integral
Primitivas e Cálculo Integral
Primitivas
– Primitiva de uma função num intervalo; família das primitivas de uma dada função num intervalo;
– Primitivas de funções de referência: 1,xa,(a∈R\{0,−1}),1x,ex,sinx e cosx ;
– Linearidade da primitivação;
– Primitivas de funções da forma u'(x)f(u(x)) .
Cálculo Integral
– Definição intuitiva da noção de integral de funções contínuas não negativas ou não positivas num intervalo limitado e fechado; extensão a funções contínuas que alternam de sinal um número finito de vezes;
– Origem histórica do símbolo de integral;
– Teorema fundamental do cálculo integral e Fórmula de Barrow;
– Linearidade e monotonia do integral definido; aditividade do integral em relação ao domínio.
Resolução de problemas
– Resolução de problemas envolvendo o cálculo de medidas de área de regiões do plano;
– Resolução de problemas envolvendo a primitivação e a integração de funções contínuas;
– Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidade e aceleração e a primitivação e integração de funções.
Números Complexos
Números Complexos
Introdução aos números complexos
– A fórmula de Cardano e a origem histórica dos números complexos;
– Motivação da definição dos números complexos e das operações de soma e produto de números complexos;
– Propriedades das operações (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)×(c,d)=(ac−bd,ad+bc) definidas em R2 : associatividade, comutatividade, distributividade de × relativamente a + e respetivos elementos neutros; definição do corpo dos números complexos C , enquanto R2 munido destas operações;
– R enquanto subconjunto de C; a unidade imaginária i=(0,1);
– Representação dos números complexos na forma z=a+ib,a,b∈R . Parte real e parte imaginária dos números complexos; o plano complexo e os eixos real e imaginário; ponto afixo de um número complexo.
Complexo conjugado e módulo dos números complexos
– Conjugado de um número complexo; propriedades algébricas e geométricas; expressão da parte real e da parte imaginária de um número complexo z em função de z e z¯;
– Módulo de um número complexo; propriedades algébricas e geométricas.
Quociente de números complexos
– Inverso de um número complexo não nulo e quociente de números complexos.
Exponencial complexa e forma trigonométrica dos números complexos
– Complexos de módulo 1 ; a exponencial complexa eiθ=cos(θ)+isin(θ),θ∈R e respetivas propriedades algébricas e geométricas; argumento de um número complexo e representação trigonométrica dos números complexos;
– Fórmulas de De Moivre.
Raízes n-ésimas de números complexos
– Soluções das equações da forma zn=w,n∈N,w∈C ; raízes em C de polinómios do segundo grau de coeficientes reais.
Resolução de problemas
– Resolução de problemas envolvendo propriedades algébricas e geométricas dos números complexos, a respetiva forma trigonométrica, raízes n-ésimas de números complexos e as fórmulas de De Moivre.